Question

正三棱錐A－BCD，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱為2a，過(guò)點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，

求(1)周長(zhǎng)的最小值；

(2)周長(zhǎng)為最小時(shí)截面積的值，

(3)用這周長(zhǎng)最小時(shí)的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開(kāi)展成平面圖．如圖，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，EF在直線B上，∵ΔABE≌ΔAF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理F＝D＝a．∵ΔFD∽ΔAD，∴＝，＝＝，∴DF＝a，AF＝a．又∵ΔAEF∽ΔACD，∴B＝a＋a＋a＝a，∴截面三角形的周長(zhǎng)的最小值為a． 　　(2)如下圖，∵ΔBEF等腰，取EF中點(diǎn)G，連BG，則BG⊥EF．∴BG＝＝＝a　∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2． 　　(3)∵VA－BCD＝VB－ACD，而三棱錐B－AEF，三棱錐B－ACD的兩個(gè)高相同，所以它們體積之比于它們的兩底面積之比，即 　　＝＝＝ 　　評(píng)析：把曲面上的最短路線問(wèn)題利用展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法．本題中的四面體，其中任何一個(gè)面都可以做為底面，因而它可有四個(gè)底面和與之對(duì)應(yīng)的四條高，在解決有關(guān)三棱錐體積題時(shí)，需要靈活運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)．