Question

20．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a（a＞1）的點的軌跡，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；
②曲線C上的點都在橢圓$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a-1}=1$外；
③曲線C上點的橫坐標(biāo)的最大值為$\sqrt{a+1}$；
④若點P在曲線C上（不在x軸上），則△PF₁F₂的面積不大于$\frac{1}{2}a$．
其中，所有正確結(jié)論的序號是①②③．

Answer 1

分析 由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a（a＞1），利用直接法，設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷．

解答 解：對于①，由題意設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及兩點間的距離公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a²，把方程中的x被-x代換，y被-y代換，方程不變，故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故正確；
對于②，PF₁+PF₂≥2$\sqrt{P{F}_{1}•P{F}_{2}}$=2$\sqrt{a}$＞2，∴曲線C上的點都在橢圓$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a-1}=1$外，故正確；
③令y=0可得，x=±$\sqrt{a+1}$，∴曲線C上點的橫坐標(biāo)的最大值為$\sqrt{a+1}$；
由題意知點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$×2×y=y，由①知y²=-x²-1+$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$或y²=-x²-1-$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$（舍去），令$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$=t，則x²=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$，∴y²=-$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$-1+t=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，∴S_△F1PF2²=y²≤$\frac{1}{2}$a，P在x軸上時取等號，故不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性及利用解析式選擇換元法求出值域．