已知點(diǎn)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F，與直線x=-相切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W，且直線x-y=m與曲線W相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求曲線W的方程；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，證明：OA⊥OB；
（3）當(dāng)y1y2=-2m時(shí)，是否存在m∈R，使得=-1？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）確定動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到曲線W的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；
（3）由于A，B兩點(diǎn)在拋物線上，可得，利用=-1，建立方程，即可求出m的值．
解答：（1）解：過動(dòng)圓圓心P作PN⊥直線，垂足為N，則有|PF|=|PN|，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線W的方程為y2=2x．
（2）證明：當(dāng)m=2時(shí)，由得x2-6x+4=0，
解得，
因此．
于是=0，
即．
所以O(shè)A⊥OB
（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，由于A，B兩點(diǎn)在拋物線上，故
因此．
所以．
由，即m2-2m=-1，得m=1．
又當(dāng)m=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以存在實(shí)數(shù)m=1，使得．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C經(jīng)過函數(shù)f（x）=
13
x3+x2-3x-9（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，C為圓心．
（1）求圓C的方程；
（2）在直線l：2x+y+19=0上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，
求四邊形PMCN面積的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C以C(t，
2t
)(t∈R，t≠0)為圓心且經(jīng)過原點(diǎn)O．
（Ⅰ）若直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F(0，
p
2
)（p＞0，p是常數(shù)），且動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離比到點(diǎn)F的距離小
p
2
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）（i）已知點(diǎn)M（2，2），若曲線E上存在不同兩點(diǎn)A、B滿足
AM
+
BM
=
0
，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（ii）當(dāng)p=2時(shí)，拋物線L上是否存在異于A、B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A題）已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，直線l是圓在P點(diǎn)處的切線，動(dòng)拋物線以直線l為準(zhǔn)線且恒經(jīng)過定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點(diǎn)F的軌跡為（　�。�

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