Question

已知圓C以C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)為圓心且經(jīng)過原點(diǎn)O．
（Ⅰ）若直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的方程，根據(jù)線段的中垂線的性質(zhì)判斷出C，H，O三點(diǎn)共線，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出直線OC的斜率，列出關(guān)于t的方程，求出t的值．通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小的比較，判斷出直線與圓的關(guān)系是否相交．
（II）求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)，將已知問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)到圓上的最小值問題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值等于該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑．

解答：解：由題知，圓C方程為(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

，
化簡(jiǎn)得x2-2tx+y2-

4

t

y=0
（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，
設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN．
∴C，H，O三點(diǎn)共線，
則直線OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

⇒t=2或t=-2，
知圓心C（2，1）或C（-2，-1），
所以圓方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于當(dāng)圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時(shí)，
直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，不滿足直線和圓相交，故舍去．
∴圓C方程為（x-2）²+（y-1）²=5．   
（Ⅱ） 點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B/C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，
直線B′C的方程為y=

1

2

x，
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

4

3

，-

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：求圓的方程一般利用的方法是待定系數(shù)法；解決直線與圓的有關(guān)的問題常利用圓的一些幾何意義：常需要解圓心距、弦長的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形；圓外的點(diǎn)到圓上的最值常求出點(diǎn)到圓心的距離加上或減去圓的半徑．