Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=25，S₁₇=S₉，問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：解法一，由等差數(shù)列的求和公式可得17a₁+

17×16

2

d=9a₁+

9×8

2

d，解之可得d=-2，進(jìn)而可得S_n=-n²+26n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得；解法二，求出公差后可得通項(xiàng)，由a_n-1≤a_n≤a_n+1可得n的范圍，結(jié)合n為自然數(shù)可得結(jié)論．

解答：解：解法一：∵a₁=25，S₁₇=S₉，
∴17a₁+

17×16

2

d=9a₁+

9×8

2

d，解得d=-2．
∴S_n=25n+

n(n-1)

2

×（-2）
=-n²+26n=-（n-13）²+169．
由二次函數(shù)的知識(shí)可知：當(dāng)n=13時(shí)，
S₁₃=169，即前13項(xiàng)之和最大，最大值為169．
解法二：同方法一：得d=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，由a_n-1≤a_n≤a_n+1，
可解得

25

2

≤n≤

27

2

，又∵n∈N^*，
∴當(dāng)n=13時(shí)，S_n取得最大值，最大值為169．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題