【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,并討論兩曲線公共點的個數(shù);

(2)若,求由兩曲線交點圍成的四邊形面積的最大值.

【答案】(1)當(dāng)時,兩曲線有兩個公共點;

當(dāng)時,兩曲線有四個公共點;

當(dāng)時,兩曲線無公共點.

(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)利用消去參數(shù),求得橢圓的普通方程為,將圓的極坐標(biāo)方程兩邊平方,可求得圓的直角坐標(biāo)方程為.故當(dāng)時,兩曲線有兩個公共點;當(dāng)時,兩曲線有四個公共點;當(dāng)時,兩曲線無公共點.(2)根據(jù)橢圓和圓的對稱性可知,四邊形也關(guān)系軸和原點對稱,設(shè)四邊形第一象限的點為,利用面積公式可求得最大面積為.

試題解析:

(1), .

當(dāng)時,兩曲線有兩個公共點;

當(dāng)時,兩曲線有四個公共點;

當(dāng)時,兩曲線無公共點.

(2)由于曲線與曲線關(guān)于軸、軸以及原點對稱,

所以四邊形也關(guān)于軸、軸以及原點對稱.

設(shè)四邊形位于第一象限的點為

則四邊形的面積為

.

當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.

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