Question

設函數f（x）=x³-x²-3ax+b．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，得到方程組，解出a，b的值即可，（Ⅱ）求出函數的導數，再分別討論①若△=4+36a≤0，②若△=4+36a＞0的情況，從而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-2x-3a
因為曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∵

f/(2)=0 f(2)=8

，
即

8-3a=0 8-4-6a+b=8

，
解得a=

8

3

，b=20；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-2x-3a
若△=4+36a≤0，即a≤-

1

9

，f′（x）≥0，
函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
若△=4+36a＞0，即a＞-

1

9

，
此時f′（x）=0的兩個根為x=

1± 1+9a

3

當x∈(-∞，

1- 1+9a

3

)或x∈(

1+ 1+9a

3

，+∞)時，
f′（x）＞0
當x∈(

1- 1+9a

3

，

1+ 1+9a

3

)時，
f′（x）＜0；
故a＞-

1

9

時，
單增區(qū)間為當(-∞，

1- 1+9a

3

)，(

1+ 1+9a

3

，+∞)
單減區(qū)間為(

1- 1+9a

3

，

1+ 1+9a

3

)．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性，曲線的切線方程，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．