各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+≤對(duì)一切n∈N+恒成立．
【答案】分析：（Ⅰ）題意知an2為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此可知
（Ⅱ）只需證：．由數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，則
（Ⅱ）只需證：．
1當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，所以命題成立．
當(dāng)n=2時(shí)，左邊＜右邊，所以命題成立
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即，
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=．

=
=．命題成立
由①②可知，++…+≤對(duì)一切n∈N+恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
對(duì)一切n∈N+恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{
1
S
2
n
S
2
n+1
}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=
1
2
anan+1（n∈N+），其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）已知p（≥2）是給定的某個(gè)正整數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn=1，
bk+1
bk
=
k-p
ak+1

（k=1，2，3…，p-1），求bk；
（3）化簡(jiǎn)b1+b2+b3+…+bp．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•重慶模擬）已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，且a1=1，Sn=
1
2
(an+
1
an
)．
（I）分別求S22，S32的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（III）求證：
1
2S1
+
1
3S2
+…+
1
(n+1)Sn
＜2(1-
1
Sn+1
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn，數(shù)列{cn}滿足cn=
an(n為奇數(shù))
bn(n為偶數(shù))
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求Tn；
（Ⅲ）同學(xué)甲利用第（Ⅱ）問中的Tn設(shè)計(jì)了一個(gè)程序如圖，但同學(xué)乙認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意同學(xué)乙的觀點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

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