點P（x，y）是曲線C：y=（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標(biāo)原點．給出三個命題：
①|(zhì)PA|=|PB|；
②△OAB的周長有最小值4+2；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出過點P的切線方程：①由切線方程可求得點A、B的坐標(biāo)，進而利用兩點間的距離公式即可證明；②先利用兩點間的距離公式求出△OAB的周長，再利用基本不等式的性質(zhì)即可證明；③先假設(shè)滿足條件的點M、N存在，利用等腰三角形的性質(zhì)只要解出即證明存在，否則不存在．
解答：解：設(shè)動點P（m＞0），則，∴，
∴過動點P的切線方程為：．
①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B．
則|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正確；
②由上面可知：△OAB的周長=≥+=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時取等號．
故△OAB的周長有最小值4+2，即②正確．
③假設(shè)曲線C上存在兩點M，N，不妨設(shè)0＜a＜b，∠OMN=90°．
則，，
所以化為
解得，故假設(shè)成立．
因此③正確．
故選D
點評：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、兩點間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）點P（x，y）是曲線C：y=
1
x
（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標(biāo)原點．給出三個命題：
①|(zhì)PA|=|PB|；
②△OAB的周長有最小值4+2
2
；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知點P（x，y）是曲線C上的點，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρcosθ-5=0，則使
3
x-y+a≥0恒成立的實數(shù)a的取值范圍為
[6+2
3
，+∞）
[6+2
3
，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P（x，y）是曲線y=
1-x2
上的動點，則點P到直線y=x+3的距離的最大值是
2
2
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點P（x，y）是曲線C：
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)，0≤θ＜π）上的任意一點，則
y
x
的取值范圍是
[-
3
3
，0]
[-
3
3
，0]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點P（x，y）是曲線x2-y2=1（x＞0）上的點，則
yx
的取值范圍
（-1，1）
（-1，1）
．

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