Question

解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1的中點． (1) 證明AD⊥1D1F； (2) 求AE與D1F所成的角； (3) 證明：面AED⊥面A1FD1

Answer 1

答案：
解析：

(1)	方法1：(坐標(biāo)法解答前兩問) 證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2a，則由條件可得(1分) D(0，0，0)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，2a)，E(2a，2a，a)，F(xiàn)(0，a，0)，A1(2a，0，2a) ＝(－2a，0，0)，＝(0，a，－2a)， ∴＝－2a×0＋0×a＋0×(－2a)＝0，(4分) ∴，即．(5分) 　　方法2：(綜合法) 證明：因為AC1是正方體，所以AD⊥面DC1．(2分) 又DF1DC1，所以AD⊥D1F．(5分)
(2)	方法1：解：∵，＝(0，a，－2a)， ∴＝0×0＋2a×a＋a×(－2a)＝0 ∴cos＜，＞＝＝0，(8分) 即，的夾角為90°，所以直線AE與D1F所成的角為直角．(10分) 　　方法2：取AB中點G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G，(6分) 因為F是CD的中點，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四邊形GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F． 設(shè)A1G與AE相交于H，則∠A1HA是AE與D1F所成的角．(8分) 因為E是BB1的中點，所以Rt△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，從而∠A1HA＝90°， 即直線AE與D1F所成的角為直角．(10分)
(3)	方法1：證明：由(1)、(2)知D1F⊥AD，D1F⊥AE，而AD∩AE＝A， ∴D1F⊥平面AED，(12分) ∵D1F平面A1FD1， ∴平面AED⊥平面A1FD1．(14分) 　　方法2：與上面解法相同．