Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1）-（ax-2）．
（1）若|a|≤1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，是否存在實(shí)數(shù)a使得f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，求a的取值范圍；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＞0時(shí)x＞0，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f'（x）＜0時(shí)x＜0，即函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≠0且|a|≤1時(shí)，由f'（x）=0，得ax²-2x+a=0，∴，
1°a=1時(shí)，f'（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；
2°a=-1時(shí)，f'（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
3°當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0可得x＜x₁或x＞x₂，即函數(shù)f（x）在（-∞，）、（，+∞）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減；
4°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，即函數(shù)f（x）在（，）上單調(diào)遞增，在（-∞，）、（，+∞）上單調(diào)遞減；　　　　　　　　　　　　　
（2）f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則f（x）=g（x）有四個(gè)根，即a=ln（x²+1）-
令G（x）=ln（x²+1）-，則 G′（x）=

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
G′（x）	+	0	-	0	+
G（x）		ln2				ln2

∴x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值，x=±1時(shí)，函數(shù)確定極大值 ln2
∴a∈（，ln2）．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＞0時(shí)x＞0，f'（x）＜0時(shí)x＜0；②當(dāng)a≠0且|a|≤1時(shí)，考慮a=1，a=-1，-1＜a＜0，0＜a＜1利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則f（x）=g（x）有四個(gè)根，即a=ln（x²+1）-，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的極值，即可求得a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的極值，綜合性強(qiáng)．