Question

若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T(mén)．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=m（m＞0），a_n+1=則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

1. A.
   .若m=，則a₅=3
2. B.
   若a₃=2，則m可以取3個(gè)不同的值
3. C.
   .若m=，則數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列
4. D.
   ?m∈Q且m≥2，數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列

Answer 1

D
分析：由給出的遞推式，把選項(xiàng)A、B、C中的m及a₃分別代入遞推式驗(yàn)證，可以判斷選項(xiàng)A、B、C正確，由排除法可以斷定不正確的選項(xiàng)是D．
解答：由a_n+1=，且＜1，
所以，，＜1，
＞1，a₅=a₄-1=4-1=3．
故選項(xiàng)A正確；
由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，則a₂=3，若a₁-1=3，則a₁=4．
若，則．
由a₃=2，若，則，若，則．
若，則a₁=2，不合題意．
所以，a₃=2時(shí)，m即a₁的不同取值由3個(gè)．
故選項(xiàng)B正確；
若＞1，則，
，
所以．
故在時(shí)，數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)A、B、C均正確，不正確的選項(xiàng)即可排除A、B、C，由選擇題的特點(diǎn)可知，不正確的選項(xiàng)是D．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．