Question

已知函數在處取得極小值2．

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的極值；

（3）設函數，若對于任意，總存在，使得，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2

（3）

【解析】

試題分析：（1）∵函數在處取得極小值2，

∴，                                                                     ……1分

又，

∴      

由②式得m=0或n=1，但m=0顯然不合題意，

∴，代入①式得m=4   

∴                                                                      ……2分

經檢驗，當時，函數在處取得極小值2，                         ……3分

∴函數的解析式為.                                              ……4分

（2）∵函數的定義域為且由（1）有,

令，解得： ,                                                      ……5分

∴當x變化時，的變化情況如下表：                                        ……7分

x		-1		1
	—	0	+	0	—
	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴當時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2,               ……8分

（3）依題意只需即可．

∵函數在時，；在時，且,

∴ 由（2）知函數的大致圖象如圖所示：

∴當時，函數有最小值-2,                                               ……9分

又對任意，總存在，使得,

∴當時，的最小值不大于-2,                                         ……10分

又      

①當時，的最小值為,

∴得；                                                         ……11分

②當時，的最小值為

∴得；                                                           ……12分

③當時，的最小值為

∴得或

又∵

∴此時a不存在,                                                                  ……13分

綜上所述，a的取值范圍是．                                       ……14分

考點：本小題主要考查導數的性質及其應用.

點評：導數是研究函數性質（尤其是單調性、極值、最值等）的有力工具，要靈活應用.求函數的極值時，要先求導數再求極值點，這是最好列出表格，清楚直觀，求函數的最值時，一般要涉及到分類討論，分類討論時要做到分類標準不重不漏.