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19.如圖,已知矩形ABCD中,AB=6,AD=4,過(guò)點(diǎn)C的直線l與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N.
(1)若△AMN的面積不小于50,求線段DN的長(zhǎng)度的取值范圍;
(2)在直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,△AMN的面積S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值及相應(yīng)的AM,AN的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)DN=x(x>0),通過(guò)△NDC~△NAM,得到x4+x=6AM,然后求出三角形的面積的表達(dá)式,利用面積的范圍求解即可.
(2)利用面積的表達(dá)式,利用基本不等式求解面積的最小值即可.

解答 解:(1)設(shè)DN=x(x>0),△AMN的面積為S,
∵△NDC~△NAM,∴x4+x=6AM,∴AM=6x+4x
S=12AMAN=126x+4xx+4=3x+42x
S=3x+42x50,得0x83或x≥6.
所以,線段DN的長(zhǎng)度的取值范圍083][6+
(2)S=3x+42x=3x+16x+8
因?yàn)閤>0,∴S=3x+16x+832x16x+8=48,
當(dāng)且僅當(dāng)x=16x,即x=4,等號(hào)成立,此時(shí)AM=12,
故存在M,N點(diǎn),當(dāng)AM=12,AN=8,△AMN的面積S有最小值48.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的模型的選擇與應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,基本不等式求解表達(dá)式的最值,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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