Question

19．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=4，過點C的直線l與AB，AD的延長線分別交于點M，N．
（1）若△AMN的面積不小于50，求線段DN的長度的取值范圍；
（2）在直線l繞點C旋轉的過程中，△AMN的面積S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及相應的AM，AN的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設DN=x（x＞0），通過△NDC～△NAM，得到$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$，然后求出三角形的面積的表達式，利用面積的范圍求解即可．
（2）利用面積的表達式，利用基本不等式求解面積的最小值即可．

解答 解：（1）設DN=x（x＞0），△AMN的面積為S，
∵△NDC～△NAM，∴$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$，∴$AM=\frac{6（x+4）}{x}$，
∴$S=\frac{1}{2}AM•AN=\frac{1}{2}•\frac{6（x+4）}{x}•（x+4）=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}$．
由$S=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}≥50$，得$0＜x≤\frac{8}{3}$或x≥6．
所以，線段DN的長度的取值范圍$（0，\frac{8}{3}]∪[6，+∞）$．
（2）$S=3•\frac{{{{（x+4）}^2}}}{x}=3•（x+\frac{16}{x}+8）$
因為x＞0，∴$S=3•（x+\frac{16}{x}+8）≥3（2\sqrt{x•\frac{16}{x}}+8）=48$，
當且僅當$x=\frac{16}{x}$，即x=4，等號成立，此時AM=12，
故存在M，N點，當AM=12，AN=8，△AMN的面積S有最小值48．

點評 本題考查函數(shù)的模型的選擇與應用，二次函數(shù)的性質的應用，基本不等式求解表達式的最值，考查轉化思想以及計算能力．