Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a

2

1-x

．
（1）求f（x）的定義域D及其零點；
（2）討論并證明函數(shù)f（x）在定義域D上的單調性；
（3）設g（x）=mx²-2mx+3，當a＞1時，若對任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意知

2

1-x

＞0，解不等式可得定義域，可得解析式，易得零點；
（2）設x₁，x₂是（-∞，1）內的任意兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=loga

1-x1

1-x2

，分類討論可得；
（III）要滿足題意只需f（x）_max≤g（x）_max，易得f（x）_max=f（-1）=0，由二次函數(shù)分類討論可得g（x）_max，解關于m的不等式可得．

解答： 解：（1）由題意知

2

1-x

＞0，解得x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域D為（-∞，1），
令f（x）=0可得

2

1-x

=1，解得x=-1，
故函數(shù)f（x）的零點為：-1；
（2）設x₁，x₂是（-∞，1）內的任意兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=loga

1-x1

1-x2

，
∵x₁＜x₂＜1，∴-x₁＞-x₂＞-1，∴

1-x1

1-x2

＞1，
∴當0＜a＜1時，f（x₂）-f（x₁）=loga

1-x1

1-x2

＜0，
∴f（x）在D上單調遞減，
當a＞1時，f（x₂）-f（x₁）=loga

1-x1

1-x2

＞0，
∴f（x）在D上單調遞增；
（III）若對任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需f（x）_max≤g（x）_max，
由（Ⅱ）知當a＞1時，f（x）在（-∞，-1]上單調遞增，則f（x）_max=f（-1）=0，
當m=0時，g（x）=3，f（x₁）≤g（x₂）成立；
當m＞0時，g（x）在[3，4]上單調遞增，g（x）_max=g（4）=8m+3，
由8m+3≥0，可解得m≥-

3

8

，∴m＞0；
當m＜0時，g（x）在[3，4]上單調遞減，g（x）_max=g（3）=3m+3，
由3m+3≥0，可解得m≥-1，∴-1≤m＜0；
綜上，滿足條件的m的范圍是m≥-1

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質，涉及單調性和分類討論的思想，屬中檔題．