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8.(1)已知圓(x+2)2+y2=1過橢圓C的一個頂點和焦點,求橢圓C標準方程.
(2)已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$,求k的值.

分析 (1)求出圓與x軸的交點,可得橢圓的一個焦點和一個頂點,再由a,b,c的關系可得橢圓方程;
(2)討論焦點在x,y軸上,求得a,b,c,e,解方程可得k的值.

解答 解:(1)圓(x+2)2+y2=1與x軸的交點為(-1,0),(-3,0),
由題意可得橢圓的一個焦點為(-1,0),一個頂點為(-3,0),
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
可得a=3,c=1,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1;
(2)當焦點在x軸上時,
橢圓$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a2=8+k,b2=9,
c2=k-1,e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{k-1}{8+k}$=$\frac{1}{4}$,
解得k=4;
當焦點在y軸上時,
橢圓$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的b2=8+k,a2=9,
c2=1-k,e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1-k}{9}$=$\frac{1}{4}$,
解得k=-$\frac{5}{4}$.
綜上可得k=4或-$\frac{5}{4}$.

點評 本題考查橢圓的方程和性質,考查離心率的運用,同時考查圓的方程的運用,注意運用分類討論的思想方法,屬于中檔題.

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