Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的菱形，且CA＝CB1.

（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求點C到平面A1BC1的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)A1B∩AB1＝O，連接CO.證明A1B⊥AB1，CO⊥AB1，得到AB1⊥面CA1B，然后證明面CBA1⊥面CB1A.

（2）說明線段CH的長就是點C到平面A1BC1的距離.然后轉(zhuǎn)化求解即可.

（1）證明：設(shè)A1B∩AB1＝O，連接CO.因為側(cè)面ABB1A1是菱形，所以A1B⊥AB1，

又因為CA＝CB1，所以CO⊥AB1，又A1B∩CO＝O，

所以AB1⊥面CA1B，又AB1面CAB1，所以面CBA1⊥面CB1A.

（2）在菱形ABB1A1中，因為∠BAA1＝60°，

所以△ABA1是等邊三角形，可得A1B＝2，所以BC＝2＝BB1，

所以側(cè)面BB1C1C是菱形，故CB1⊥C1B，（*）

在等邊三角形CA1B中，A1B⊥CO，又A1B⊥AB1，且CO∩AB1＝O，

所以A1B⊥面CAB1，又CB1面CAB1，所以CB1⊥A1B，

結(jié)合（*）以及A1B∩C1B＝B得CB1⊥面A1C1B，設(shè)CB1∩C1B＝H，

則線段CH的長就是點C到平面A1BC1的距離.

經(jīng)計算得，，

所以，即點C到平面A1BC1的距離為.