Question

已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．則曲線C在極坐標系中的方程是

 

；直線l被曲線C截得的弦長為

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1可把曲線C的參數方程化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
（2）直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．展開為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化為x+y=0，再利用點到直線的距離公式、弦長公式即可得出．

解答： 解：（1）曲線C的參數方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），利用sin²θ+cos²θ=1可化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
∴曲線C在極坐標系中的方程為ρ²-4ρcosθ=0，
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情況，
∴曲線C在極坐標系中的方程為ρ=4cosθ．
（2）∵直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．展開為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化為x+y=0，
∴圓C的圓心C（2，0）到直線l的距離為d=

2

，
又∵圓C的半徑為r=2，
∴直線l被曲線C截得的弦長l=2

r2-d2

=2

2

．

點評：本題主要考查曲線的參數方程與極坐標方程、直線的極坐標方程、直線與圓相交問題、弦長公式等基礎知識，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題．