Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，2AC＝AA₁＝BC＝2．

(1)若D為AA₁中點，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；

(2)當AD的長等于多少時？二面角B₁－DC－C₁的大小為60°．

Answer 1

答案：
解析：

解析：解法一：(1)∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1． 　　又由直三棱柱性質知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1． 　　∴B1C1⊥CD．①　2分 　　由D為中點可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．② 　　由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．　6分 　　(2)由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1內過C1作C1E⊥平面CD，交CD或延長線于E，連接EB1． 　　由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．　8分 　　由B1C1＝2，知，設AD＝x，則． 　　∵△DCC1的面積為1，∴，解得，即．　12分 　　解法二：(1)如圖所示，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系， 　　則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)， 　　即． 　　由，得CD⊥C1B1． 　　由，得CD⊥DC1． 　　又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D，平面B1CD⊥平面B1C1D．　6分 　　(2)設AD＝a，則D點坐標為(1，0，a)，． 　　設平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)，則由． 　　令z＝－1，得m＝(a，1，－1)． 　　又平面C1DC的法向量為n＝(0，1，0)，則由， 　　即，故．　12分