Question

已知拋物線y²=4x與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，點A，B是兩曲線的交點，若（

OA

+

OB

）•

AF

=0，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

  +2
• B、

  5

  +1
• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線的焦點（1，0），即有雙曲線的兩個焦點，設A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），運用向量的數量積的定義可得m=1，n=2，再由雙曲線的定義可得a，運用離心率公式計算即可得到．

解答： 解：由拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
可得雙曲線的焦點為F（1，0）和F'（-1，0），
設A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），
則

AF

=（1-m，-n），
由（

OA

+

OB

）•

AF

=0，
即為2m（1-m）+0=0，
解得m=1（0舍去），
即有A（1，2），
由雙曲線的定義可得|AF'|-|AF|=2a，
即為2

2

-2=2a，
即a=

2

-1，
由e=

c

a

=

1

2 -1

=

2

+1．
故選D．

點評：本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質，主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，同時考查向量的數量積的坐標表示，屬于中檔題．