Question

已知A（1，1），B（5，-2），C（3，4），O是坐標(biāo)原點，P是直線OA上的一個動點
（1）求證：△ABC是鈍角三角形；
（2）試確定點P的位置，使

PB

•

PC

取得最小值，并求此時cos∠BPC的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的夾角公式即可判斷出；
（2）利用向量共線定理和向量的夾角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵A（1，1），B（5，-2），C（3，4），∴

AC

=（2，3），

AB

=（4，-3）．
∴

AC

•

AB

=|

AC

| |

AB

|cos＜

AC

，

AB

＞=8-9=-1＜0，
cos＜

AC

，

AB

＞＜0，
∴A是鈍角，
∴△ABC是鈍角三角形；
（2）∵P是直線OA上的一個動點，∴

OP

=λ

OA

=（λ，λ）．
∴

PB

•

PC

=（5-λ，-2-λ）•（3-λ，4-λ）
=（5-λ）（3-λ）+（-2-λ）（4-λ）
=2λ²-10λ+7
=2(λ-

5

2

)2-

11

2

≥-

11

2

．
當(dāng)λ=

5

2

時，使

PB

•

PC

取得最小值-

11

2

．
此時

OP

=(

5

2

，

5

2

)，
∴

PB

=(

5

2

，-

9

2

)，

PC

=(

1

2

，

3

2

)．
∴|

PB

|=

106

2

，|

PC

|=

10

2

．
∴cos∠BPC=

PB • PC

| PB | | PC |

=

- 11 2

106 2 × 10 2

=--

11 265

265

．

點評：本題考查了向量共線定理和向量的夾角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．