Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，對(duì)于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）若，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）確定c_n的表達(dá)式，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮，再用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論；也可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2時(shí)，總有2ⁿ≥n+2，從而可得結(jié)論．
解答：（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+n，又S_n+1=2S_n+n+1，
兩式相減得：a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，S₂=2S₁+2，得a₂=3，滿足a₂+1=2（a₁+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴，∴．
（2）證明：由（1）可知∴，∴
由
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172229305431556/SYS201311031722293054315019_DA/5.png">
故，
由
當(dāng)n≥3時(shí)，
則不等式成立．
另解：2ⁿ⁺¹-n-2=2ⁿ+（2ⁿ-n-2），當(dāng)n≥2時(shí)，總有2ⁿ≥n+2（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）
當(dāng)n=1，c₁=1＜2
則n≥2時(shí)，
故
則不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．