Question

4．某地區(qū)對(duì)高一年級(jí)學(xué)生的瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查，瞬時(shí)記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．現(xiàn)隨機(jī)抽取某學(xué)校高一學(xué)生共40人，下表為該批學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人．

視覺 聽覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）試確定a、b的值；
（2）將抽取所得學(xué)生的頻率視為概率，從該地區(qū)高二年級(jí)學(xué)生中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ及方差Dξ．

Answer 1

分析 （1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有（10+a）人，記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A，由等可能事件概率計(jì)算公式能求出a=6，從而得到b=2．
（2）由于從40位學(xué)生中任取3位，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共有24人，故概率為$\frac{3}{5}$，從而ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有（10+a）人，
記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A，
則P（A）=$\frac{10+a}{40}=\frac{2}{5}$，解得a=6，
∴b=40-（32+a）=40-38=2．
∴a=6，b=2．
（2）由于從40位學(xué)生中任取3位，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共有24人，
故概率為$\frac{3}{5}$，
∴從該地區(qū)高二年級(jí)學(xué)生中任意抽取3人，
其中恰有k位學(xué)生具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3），
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}=\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）=\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，Dξ=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．