Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

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3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對任意實(shí)數(shù)λ，求證：a₁，a₂，a₃不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用反證法結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和公式即可證明a₁，a₂，a₃不成等比數(shù)列；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（3）求出數(shù)列的和，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a₁，a₂，a₃是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₃，
即(

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)，
則

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ²-4λ，
即9=0矛盾．
所以a₁，a₂，a₃不成等比數(shù)列．
（2）因?yàn)?span id="zri5wjk" class="MathJye">bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

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a_n-2n+14）=

2

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=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）=-

2

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b_n，
又b₁=-（λ+18），
所以當(dāng)λ=-18，b_n=b₁=0，（n為正整數(shù)），此時(shí){b_n}不是等比數(shù)列．…8分
當(dāng)λ≠-18時(shí)，b₁≠0，由上式可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

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3

（n為正整數(shù)），
故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項(xiàng)，-

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為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）知，當(dāng)λ=-18時(shí)，b_n=0，則S_n=0，所以S_n＞-12恒成立．
當(dāng)λ≠-18，得b_n=-（λ+18）（-

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3

）^n-1，
于是S_n=-

3

5

（λ+18）[1-（-

2

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）ⁿ]，
要使對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12成立，即-

3

5

（λ+18）[1-（-

2

3

）ⁿ]＞-12，
即λ＜

20

1-(- 2 3 )n

-18，
令f（n）=1-（-

2

3

）ⁿ，
則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f（n）≤

5

3

，
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，

5

9

≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值為f1）=

5

3

，
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)λ∈（-∞，-6），使得對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的判斷和應(yīng)用，以及數(shù)列和不等式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．