Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足

f(x)

g(x)

=bx，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a5a7+2a6a8+a4a12=

f(4)

g(4)

，則a₆+a₈等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

=bx，由已知可得b=

1

2

，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得(a6+a8)2=

1

16

，結(jié)合題意開(kāi)方可得．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

=bx，
求導(dǎo)數(shù)可得F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，
∴函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

=bx單調(diào)遞減，故0＜b＜1
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=b+

1

b

=

5

2

，解得b=

1

2

，或b=2（舍去）
又∵a5a7+2a6a8+a4a12=

f(4)

g(4)

=(

1

2

)4=

1

16

，
∴a62+2a6a8+a82=(a6+a8)2=

1

16

，
又{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，∴a₆+a₈=

1

4

故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．