Question

已知

OA

=(-1，1)，

OB

=(0，-1)，

OC

=(1，m)(m∈R)．
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，恒有 

CA

•

CB

≥1成立．

Answer 1

分析：（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到向量

AB

、

CA

的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的充要條件列式，解之即可得到實(shí)數(shù)m的值；
（2）由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得

CA

•

CB

=m²+1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可證出 

CA

•

CB

≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立．

解答：解：（1）∵

OA

=(-1，1)，

OB

=(0，-1)，

OC

=(1，m)
∴

CA

=(-2，1-m)，

AB

=(1，-2)…（2分）
∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴向量

CA

、

AB

是共線向量，得（-2）×（-2）=（1-m）×1…（5分）
∴解之得：m=-3…（7分）
（2）由（1），得

CA

=(-2，1-m)，

CB

=(-1，-1-m)…（9分）
∴

CA

•

CB

=2-(1-m2)=m2+1≥1
即對(duì)任意實(shí)數(shù)m，恒有 

CA

•

CB

≥1成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母m的向量坐標(biāo)形式，在已知三點(diǎn)共線的情況下求參數(shù)m的值，并且證明不等式恒成立．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量共線等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．