已知△ABC，點(diǎn)O滿足
OC
=2
BO
，過點(diǎn)O的直線與線段AB及AC的延長線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)
AE
=λ
AB
，
AF
=μ
AC
，則8λ+μ的最小值是
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析：由三角形法則可得
AO
=
2
3
AB
+
1
3
AC
，由E、O、F三點(diǎn)共線，得
AO
=m
AE
+(1-m)
AF
=mλ
AB
+（1-m）μ
AC
，由
mλ=
2
3
(1-m)μ=
1
3
消掉m得，
2
3λ
+
1
3μ
=1，從而8λ+μ=（8λ+μ）•(
2
3λ
+
1
3μ
)，利用基本不等式可求答案．
解答： 解：∵
OC
=2
BO
，
∴
AO
=
AB
+
BO
=
AB
+
1
3
BC

=
AB
+
1
3
(
AC
-
AB
)
=
2
3
AB
+
1
3
AC
，
由E、O、F三點(diǎn)共線，得
AO
=m
AE
+(1-m)
AF
=mλ
AB
+（1-m）μ
AC
，
∴
mλ=
2
3
(1-m)μ=
1
3
，消掉m得，
2
3λ
+
1
3μ
=1①，（
2
3
＜λ＜1，μ＞1），
∴8λ+μ=（8λ+μ）•(
2
3λ
+
1
3μ
)=
17
3
+（
2μ
3λ
+
8λ
3μ
）≥
17
3
+2
2μ
3λ
•
8λ
3μ
=
25
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)
2μ
3λ
=
8λ
3μ
②時(shí)取等號，由①②可解得μ=
5
3
，λ=
5
6
，
故答案為：
25
3
．
點(diǎn)評：本題考查向量加法的三角形法則、三點(diǎn)共線的條件及基本不等式求最值，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=an+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（Ⅱ）數(shù)列{an}中是否存在這樣的兩項(xiàng)ap，aq（p＜q），使得ap+aq=2014？若存在，求符合條件的所有的p，q；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若非零向量
a
、
b
滿足2|
a
|=|
b
|，且
a
•（
a
-
b
）=0，則
a
與
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞1，0＜b＜1，則logab+logba的取值范圍是（用區(qū)間表示）
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線y=kx與圓（x-2）2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+b=0對稱，則k+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件，為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組
2x-y≤0
x+y-3≥0
x+2y≤6
，則z=x-y的最小值為（　�。�
A、-1
B、-
6
5
C、-3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)z=
3
i+1
1+i
（其中i是虛數(shù)單位），則|z|=（　�。�
A、2
2
B、
2
C、1
D、1

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