Question

（本小題滿分12分）

已知關(guān)于x的二次函數(shù).

(I)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率；

(II)設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率．

 

Answer 1

【答案】

(1)所求事件的概率為＝ ；(2) P＝.

【解析】本題主要考查了古典概型，掌握古典概型的計算步驟和計算公式是解答本題的關(guān)鍵，同時考查了分類的思想，屬于基礎(chǔ)題．

（1）這是一個古典概型問題，我們分別計算出滿足條件的基本事件個數(shù)，及基本事件的總個數(shù)，然后代入古典概型計算公式，即可求解．

（2）根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計算公式得到結(jié)果．

(1)∵函數(shù)f(x)＝ax²－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax²－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)

若a＝1，則b＝－1；若a＝2，則b＝－1或1；若a＝3，則b＝－1或1.

∴事件包含基本事件的個數(shù)是1＋2＋2＝5.(5分)

∴所求事件的概率為＝ (6分)

(2)由(1)，知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時，函數(shù)f(x)＝ax²－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，(8分)

依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分．由得交點坐標(biāo)為，(10分)

∴所求事件的概率為P＝.(12分)