Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，面，，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；  （2）求證：平面；

（3）直線與平面所成的角的正弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051815453648433590/SYS201205181546459062618016_DA.files/image003.png">，分別為和的中點(diǎn)，  所以∥．

又平面，平面， 所以∥平面．            

（2）證明：在直三棱柱中， 平面，又平面，

所以． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051815453648433590/SYS201205181546459062618016_DA.files/image017.png">，為中點(diǎn)， 所以．

又，  所以平面．

又平面，所以．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051815453648433590/SYS201205181546459062618016_DA.files/image021.png">為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，

所以△≌△，．

所以．

所以． 又， 所以平面．   

（3）設(shè)CE與C₁D交于點(diǎn)M，連AM

由（2）知點(diǎn)C在面AC₁D上的射影為M，故∠CAM為直線AC與面AC₁D所成的角，又A₁C₁//AC

所以∠CAM亦為直線A₁C₁與面AC₁D所成的角。

易求得

 

【解析】略