Question

對任意定義域為D的函數(shù)f（x），按如右程序框圖構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器．定義f(x)=

x-1

x+3

，x_n+1=f（x_n）
（1）若輸入x1=-

5

3

，則由此數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個數(shù)列{x_n}，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項．
（2）此數(shù)列發(fā)生器能產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列嗎？如能，請寫出輸入的初始數(shù)據(jù)x₁；若不能，請說明理由．
（3）若輸入的初始數(shù)據(jù)x₁=1，試猜想此數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用 f(x)=

x-1

x+3

，x1=-

5

3

及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則有 x=

x-1

x+3

，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x的值；
（3）計算：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，…再猜想：xn=

2

n

-1．

解答：解：（1）x1=-

5

3

，
∴x2=

- 5 3 -1

- 5 3 +3

=-2，
x3=

-2-1

-2+3

=-3，
∴數(shù)列{x_n}的所有項為：-

5

3

，-2，-3（3分）
（2）若要產(chǎn)生常數(shù)列，則x=

x-1

x+3

，
得x=-1（7分）
∴此數(shù)列發(fā)生器能產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，輸入的初始數(shù)據(jù)x₁=-1；
（3）計算：

x1=1= 2 1 -1，x2=0= 2 2 -1，x3=- 1 3 = 2 3 -1， x4=- 1 2 = 2 4 -1，x5=- 3 5 = 2 5 -1

（10分）
猜想：xn=

2

n

-1．（15分）

點評：本題是數(shù)列與算法的簡單結(jié)合，應(yīng)搞清算法原理，將問題等價轉(zhuǎn)化，有一定的難度．