Question

過長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的對角線AC₁的截面是平行四邊形AMC₁N，其中M∈A₁B₁，N∈DC，AB=3，BC=1，C₁C=2，當平行四邊形AMC₁N的周長最小時，異面直線MC₁與AB所成的角為    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用長方體展開圖求出平行四邊形AMC₁N的周長最小時點M的位置，再由異面直線所成的角的定義，作出異面直線所成的角的平面角，最后在三角形中計算此角即可
解答：解：如圖要使平行四邊形AMC₁N的周長最小，需將平面A₁B₁BA與平面A₁B₁C₁D₁展開，讓AMC₁在一條直線上即可，其展開圖如圖
在正方形ABC₁D₁中，可得B₁M=1，即B₁M=1時平行四邊形AMC₁N的周長最小，
∵AB∥A₁B₁，∴∠C₁MB₁就是異面直線MC₁與AB所成的角
在Rt△C₁B₁M中，B₁M=C₁B₁=1，∴∠C₁MB₁=45°
∴異面直線MC₁與AB所成的角為45°
故答案為45°
點評：本題考察了長方體展開圖的意義和作用，異面直線所成的角的作法和求法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法