Question

已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，連接B₁C，過(guò)B點(diǎn)作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證A₁C⊥平面EBD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求平面A₁B₁C與平面BDE所成角的度數(shù)；
（4）求ED與平面A₁B₁C₁所成角的大�。�

Answer 1

（1）連接AC，則AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD內(nèi)的射影
∴A₁C⊥BD；
又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB內(nèi)的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又∵BD∩BE=B
∴A₁C⊥面EBD…（3分）
（2）∵AB∥平面A₁B₁C，點(diǎn)B到平面A₁B₁C的距離等于點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離
∵

BF⊥B1C BF⊥A1B1

?BF⊥平面A₁B₁C，BF的長(zhǎng)即為所求距離．
∴所求距離即為BF=

BB1? BC

B1C

=

3×4

32 +42

=

12

5

  …（6分）
（3）由（2）∵BF⊥平面A₁B₁C，，而B(niǎo)F在平面BDE上，
∴平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C與平面BDE所成角的度數(shù)為90°．
 …（9分）
（4）連接DF，A₁D，∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥面A₁B₁C，
∴∠EDF即為ED與平面A₁B₁C所成的角  （6分）  
由條件AB=BC=3，BB₁=4，
可知B₁C=5，BF=

12

5

，B1F=

16

5

，CF=

9

5

，EF=

FC

B1F

?BF=

27

20

，EC=

FC

B1F

?BB1=

9

4

∴ED=

EC2+CD2

=

15

4

∴sin∠EDF=

EF

ED

= 

27 20

15 4

= 

9

25

．
∴ED與平面A₁B₁C所成角為arcsin

9

25

…（12分）