【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點M在線段PD上.
(1)求證:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求BM與平面PAC所成的角的正弦值.
【答案】
(1)證明:設E為BC的中點,連接AE,則AD=EC,AD∥EC,
∴四邊形AECD為平行四邊形,
∴AE⊥BC
∵AE=BE=EC=2 ,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴AB⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,AB平面ABCD,
∴AB⊥PA
∵AC∩PA=A,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PC
(2)證明:設AC∩BD=O,連接OP,過點M作MN⊥AD,過點N作NG⊥AC于G,連接MG,則MN∥PA,
由PA⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,
∴MN⊥AC,
∵NG⊥AC,MN∩NG=N,
∴AC⊥平面MNG,
∴AC⊥MG,
∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°
設MN=x,則NG=AG=x,∴AN=ND= x,
可得M為PD的中點,連接PO交BM于H,連接AH,
由(1)AB⊥平面PAC,∴∠BHA是BM與平面PAC所成的角
在△ABM中,AB=4,AM= PD= ,BM=3 ,
∴cos∠ABM= ,
∵∠BHA與∠ABM互余,
∴BM與平面PAC所成的角的正弦值為 .
【解析】(1)設E為BC的中點,連接AE,證明AB⊥PC,只需證明AB⊥平面PAC,只需證明AB⊥AC,AB⊥PA.(2)設AC∩BD=O,連接OP,過點M作MN⊥AD,過點N作NG⊥AC于G,連接MG,證明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°,M為PD的中點,連接PO交BM于H,連接AH,證明∠BHA是BM與平面PAC所成的角,即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,將曲線(為參數(shù))上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到曲線;以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)已知點,直線的極坐標方程為,它與曲線的交點為, ,與曲線的交點為,求的面積.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程.
在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點.若點的極坐標為,直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點,設線段的中點為,求的值.
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【題目】已知a,b,c都是正數(shù),
(1)若a+c=1,試比較a3+a2c+ab2+b2c與a2b+abc的大;
(2)若a2+b2+c2=1,求證: ﹣ ≥3.
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【題目】已知數(shù)集A={a1 , a2…an}(0≤a1<a2…<an , n≥2)具有性質(zhì)P;對任意的 i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{0,1,3,4}與{0,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(2)證明:a1=0,且nan=2(a1+a2+a+..+an)
(3)當n=5時若 a2=2,求集合A.
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【題目】已知橢圓E: 的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1,﹣1),則E的方程為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E、F分別是棱AA′,CC′的中點,過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②當且僅當x= 時,四邊形MENF的面積最小;
③四邊形MENF周長l=f(x),x∈0,1]是單調(diào)函數(shù);
④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h(x)為常函數(shù);
以上命題中真命題的序號為 .
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【題目】定義實數(shù)a,b間的計算法則如下a△b= .
(1)計算2△(3△1);
(2)對0<x<z<y的任意實數(shù)x,y,z,判斷x△(y△z)與(x△y)△z的大小,并說明理由;
(3)寫出函數(shù)y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出該函數(shù)的圖象,并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域(只需要寫出結(jié)果).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣1(a>0,且a≠1),當x∈(0,+∞)時,f(x)>0,且函數(shù)g(x)=f(x+1)﹣4的圖象不過第二象限,則a的取值范圍是( )
A.(1,+∞)
B.
C.(1,3]
D.(1,5]
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