Question

如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，△ABF、△CDE是等邊三角形，CD=1，EF=

1

2

BC=1，EF∥BC，M為EF的中點(diǎn)．
（1）證明MO⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-CD-A的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到平面CDE的距離．

Answer 1

分析：（1）取AB，CD的中點(diǎn)為P，Q．連接PQ，EQ，F(xiàn)P．說(shuō)明EFPQ為等腰梯形．證明CD⊥平面EFPQ推出CD⊥MO，又CD和PQ相交，即可證明MO⊥面ABCD
（2）由（1）可知∠EQP為二面角E-CD-A的平面角，通過(guò)cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

即可．
（3）因?yàn)锳B∥平面CDE所以P點(diǎn)到平面CDE的距離等于A點(diǎn)到平面CDE的距離．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥EQ于點(diǎn)H，說(shuō)明PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面CDE的距離．由cos?EQP=

3

3

，求出PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

．

解答：（1）證明：取AB，CD的中點(diǎn)為P，Q．連接PQ，EQ，F(xiàn)P．則P，O，Q三點(diǎn)共線
且PQ∥BC又因?yàn)镋F∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ．所以EFPQ為等腰梯形．
所以有MO⊥PQ，CD⊥EQ CD⊥PQ，PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO，又CD和PQ相交，
所以有MO⊥面ABCD
解：（2）由（1）可知∠EQP為二面角E-CD-A的平面角
過(guò)E點(diǎn)作EN⊥PQ于點(diǎn)N，則N為OQ的中點(diǎn)．
cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

（3）因?yàn)锳B∥平面CDE所以P點(diǎn)到平面CDE的距離等于A點(diǎn)到平面CDE的距離．過(guò)
點(diǎn)P作PH⊥EQ于點(diǎn)H，則PH^CD，又CD交EQ于Q．所以PH⊥平面CDE．
所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面CDE的距離．
由cos?EQP=

3

3

得sin∠EQP=

6

3

，PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面的垂直，空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力