Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF與異面直線AC、A₁D都垂直相交．求證：EF∥BD₁．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：連接AB₁，B₁C，BD，由線面垂直得DD₁⊥AC，由BD⊥AC，得AC⊥BD₁，同理可證BD₁⊥B₁C，從而BD₁⊥平面AB₁C，再由EF⊥平面AB₁C，能推導出EF∥BD₁．

解答： 證明：如圖所示，連接AB₁，B₁C，BD，
因為DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD₁⊥AC，
又因為BD⊥AC，DD₁∩BD=D，
所以AC⊥平面BDD₁B₁，
所以AC⊥BD₁，
同理可證BD₁⊥B₁C，
又AC∩B₁C=C，
所以BD₁⊥平面AB₁C．…（8分）．
因為EF⊥A₁D，又A₁D∥B₁C，
所以EF⊥B₁C，
因為EF⊥AC，AC∩B₁C=C
所以EF⊥平面AB₁C，
所以EF∥BD₁．…（12分）

點評：本題考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．