Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a為正實(shí)數(shù)，若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[1，e]
【解析】解：∵f（x）=ax﹣lnx，（x＞0），
f′（x）=a﹣ = ，
若f（x）在（1，+∞）上無最小值，
則f（x）在（1，+∞）單調(diào)，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥ ，或a≤ ，而函數(shù)y= 在（1，+∞）上單調(diào)減，
∴x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a為正實(shí)數(shù)，
故a≥1①，
又∵g（x）=ex﹣ax，
∴g′（x）=ex﹣a，
∵函數(shù)g（x）=ex﹣ax在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g′（x）=ex﹣a≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[ex]min在區(qū)間（1，+∞）上成立．
而ex＞e，
∴a≤e②；
綜合①②，a∈[1，e]，
所以答案是：[1，e]．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．