Question

已知在△ABC中，a²+c²-b²=

b

5

ac，b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：由b與cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式變形求出ac的最大值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值代入即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：∵a²+c²-b²=

b

5

ac，即a²+c²-b²=

2

5

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

5

，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

2 6

5

，
∵b=2，
∴由余弦定理得：4=b²=a²+c²-

2

5

ac≥

8

5

ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

6

5

ac≤

6

2

，
則△ABC面積的最大值為

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．