Question

已知數(shù)列滿足，，()

（1）若，數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，試寫出對(duì)任意成立的充要條件，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）∪；（2）充要條件為.

【解析】

試題分析：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的單調(diào)性、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、邏輯推理能力.第一問，數(shù)列單調(diào)遞增，將已知條件代入，得到所滿足條件，即需要滿足的條件，即得到a的取值范圍，第二問，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的遞推公式得到與的關(guān)系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題解析：（1）若，則，

由，

得或，所以只需或.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為∪. 6分

(2)對(duì)任意成立的充要條件為.必要性：由，解出；

（另【解析】
假設(shè)，得，令，，可得：，即有.） 8分

充分性：數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，對(duì)一切，成立.

證明：（1）顯然時(shí)，結(jié)論成立；

（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，

當(dāng)時(shí)，.

考察函數(shù)，，

①若，由，知在區(qū)間上單調(diào)遞增.由假設(shè).

②若，對(duì)總有，

則由假設(shè)得.

所以，時(shí)，結(jié)論成立，

綜上可知：當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，成立.

故對(duì)任意成立的充要條件是.

考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的單調(diào)性、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法.