Question

關于函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x有下面有五個命題，其中真命題的序號是

①②

．①最小正周期是π；    ②向右平移

π

4

可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象；③在[0，

π

2

]上是增函數(shù)； ④同一坐標系中，和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式利用平方差公式化簡后，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關系及二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)最小正周期，即可對選項①作出判斷；
利用平移規(guī)律“左加右減”，對函數(shù)解析式進行變形，得到平移后函數(shù)解析式，即可作出判斷；
根據(jù)余弦函數(shù)的單調性，對已知的區(qū)間進行判斷，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，本選項為假命題；
設出g（x）=f（x）-x，求出導函數(shù)g′（x），根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性求出函數(shù)g（x）的最小值，即可得到原函數(shù)與y=x圖象交點的個數(shù)，進而作出判斷．

解答：解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，故選項①為真命題；
把f（x）=cos2x向右平移

π

4

后，
其解析式為y=cos2（x-

π

4

）=cos（2x-

π

2

）=cos（

π

2

-2x）=sin2x，故選項②為真命題；
∵0≤2x≤π，即0≤x≤

π

2

時，余弦函數(shù)cos2x為減函數(shù)，故選項③為假命題；
設g（x）=cos2x-x，求導得g′（x）=-2sin2x-1，
當2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]時，sin2x∈[0，1]，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調減；
當2x∈[-π，0]，即x∈[-

π

2

，0]時，sin2x∈[-1，0]，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調增，
故g（x）的最小值為g（0）=1，同一坐標系中，和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點，故選項④為假命題，
則其中真命題的序號為①②．
故答案為：①②

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，余弦函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值以及函數(shù)的平移規(guī)律，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解本題的關鍵．