Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[-1，2]時，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令f'（x）＞0解出x的范圍得到其增區(qū)間，同理令f'（x）＜0解出x的范圍得到減區(qū)間；令f'（x）=0解出x的值得到極值點．
（2）先求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大與最小值，由

-3≤a+b≤3 -3≤4a+b≤3

可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
于是，當(dāng)x∈(-

1

3

，1)時，f'（x）＜0；x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)時，f'（x）＞0．
故f（x）在(-

1

3

，1)單調(diào)減少，在(-∞，-

1

3

)，（1，+∞）單調(diào)增加．
當(dāng)x=-

1

3

時，f（x）取得極大值f(-

1

3

)=

59

27

；
當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值f（1）=1．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）及f（-1）=1，f（2）=4，f（x）在[-1，2]的最大值為4，最小值為1．
因此，當(dāng)x∈[-1，2]時，-3≤af（x）+b≤3的充要條件是

-3≤a+b≤3 -3≤4a+b≤3

，
即a，b滿足約束條件

a+b≥-3 a+b≤3 4a+b≥-3 4a+b≤3

，
由線性規(guī)劃得，a-b的最大值為7．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系和函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即令導(dǎo)數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)等于0可求其極值點．