Question

某玩具廠計劃每天生產A、B、C三種玩具共100個．已知生產一個玩具A需5分鐘，生產一個玩具B需7分鐘，生產一個玩具C需4分鐘，而且總生產時間不超過10個小時．若每生產一個玩具A、B、C可獲得的利潤分別為5元、6元、3元．
（I）用每天生產的玩具A的個數(shù)x與玩具B的個數(shù)y表示每天的利潤T元；
（II）請你為玩具廠制定合理的生產任務分配計劃，使每天的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

分析：（I）依題意，每天生產的玩具C的個數(shù)為100-x-y，根據(jù)題意即可得出每天的利潤；
（II）先根據(jù)題意列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設T=2x+3y+300，再利用T的幾何意義求最值，只需求出直線0=2x+3y過可行域內的點A時，從而得到T值即可．

解答：解：（I）依題意，每天生產的玩具C的個數(shù)為100-x-y，
所以每天的利潤T=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．…..（2分）
（II）約束條件為：

5x+7y+4(100-x-y)≤600 100-x-y≥0 x≥0 y≥0

，
整理得

x+3y≤200 x+y≤100 x≥0 y≥0

．…（5分）
目標函數(shù)為T=2x+3y+300．
如圖所示，做出可行域．…（8分）
初始直線l₀：2x+3y=0，平移初始直線經過點A時，T有最大值．
由

x+3y=200 x+y=100

得

x=50 y=50

．
最優(yōu)解為A（50，50），
此時T_max=550（元）．…（10分）
答：每天生產玩具A50個，玩具B50個，玩具C0個，這樣獲得的利潤最大，最大利潤為550元．…．（12分）

點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件，②由約束條件畫出可行域，③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關系，④使用平移直線法求出最優(yōu)解，⑤還原到現(xiàn)實問題中．