Question

如圖，四邊形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．
（Ⅰ）證明DA⊥EF；
（Ⅱ）求直線BE與平面DCE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出DA⊥AB，從而得到DA⊥平面ABEF，由此能求出DA⊥EF．
（Ⅱ）以AF為x軸，以AB為y軸，以AD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BE與平面DCE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵EF?平面ABEF，∴DA⊥EF．
（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，
以AF為x軸，以AB為y軸，以AD為z軸，建立空間直角坐標系，
∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），
∴

DE

=(2，2，-2)，

DC

=(0，2，-1)，
設平面DCE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DE =x+y-z=0 2x-z=0

，
令x=1，得平面DCE的一個法向量

n

=(1，1，2)，
又

BE

=(2，0，0)，
cos＜

BE

，

n

＞=

2

6 ×2

=

6

6

，
∴直線BE與平面DCE所成角的正弦值為

6

6

．

點評：本題考查立體幾何中的線面關系、空間角、空間向量等基礎知識，考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉化能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想．