Question

如圖，已知圓O：x2+y2=4與y軸正半軸交于點(diǎn)P，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點(diǎn)S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點(diǎn)且以l為準(zhǔn)線．
（1）當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動時，試求拋物線的焦點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)M，N是（1）中的點(diǎn)Q的軌跡上除與y軸兩個交點(diǎn)外的不同兩點(diǎn)，且

PM

=t

PN

（t∈R），問：△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)Q（x，y），作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l，由橢圓的定義知焦點(diǎn)Q在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上，由此能求出拋物線的焦點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）由已知P，M，N三點(diǎn)共線，設(shè)直線PN的方程為y=kx+2，代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、均值定理，能求出△MON的面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)Q（x，y），如圖，
作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，
連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l，
∵OS是直角梯形AA′B′B的中位線，
∴|AA′|+|BB′|=2|OS|，
由拋物線的定義知|AA′|=|AQ|，|BB′|=|BQ|，
∵|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4＞2=|AB|，
由橢圓的定義知焦點(diǎn)Q在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上，
且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴拋物線的焦點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（去掉與x軸的交點(diǎn)）．
（2）∵

PM

=t

PN

（t∈R），
∴P，M，N三點(diǎn)共線，
由題意，直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=kx+2，
代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△=（16k）²-4（3+4k²）×4＞0，得|k|＞

1

2

，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

，
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x

=4

3

1+k2

•

4k2-1

3+4k2

，
原點(diǎn)O到直線PN的距離d=

2

1+k2

，
∴S_△MON=

1

2

×|MN|×d=4

3

×

4k2-1

3+4k2

=

4 3

4k2-1 + 4 4k2-1

≤

4 3

2 4k2-1 • 4 4k2-1

=

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

4k2-1

=

4

4k2-1

，即k=±

5

2

時，取等號，
∴△MON的面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想．