Question

若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=1，則3ab-3bc+2c²的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不妨考慮c，當(dāng)c=0時(shí)，運(yùn)用重要不等式a²+b²≥2ab，求得最大值；再由當(dāng)c≠0時(shí)，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

，
分子分母同除以c²，設(shè)x=

a

c

，y=

b

c

，再整理成二次方程，由于x為實(shí)數(shù)，運(yùn)用判別式大于等于0，再由y為實(shí)數(shù)，判別式小于等于0，即可解得所求的范圍，進(jìn)而得到最大值．

解答： 解：不妨考慮c，當(dāng)c=0時(shí)，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)

2

=

3

2

，
當(dāng)c≠0時(shí)，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，
設(shè)x=

a

c

，y=

b

c

，則可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x為實(shí)數(shù)，則有判別式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y為實(shí)數(shù)，則△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，則M＞0，則M≤3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查重要不等式的運(yùn)用：求最值，考查換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和二次方程有實(shí)根的條件，考查不等式的解法，屬于壓軸題和易錯(cuò)題．