Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的長半軸是短半軸的

3

倍，直線x-y+

2

=0經過
橢圓C的一個焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設一條直線 l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

（1）x-y+

2

=0與x軸的交點為F：(-

2

， 0)，
∴c=

2

又 a=

3

b，c²=a²-b²=2
∴a=

3

，b=1
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．                             （5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，l： x=±

3

2

，A(

3

2

，

3

2

)、B(

3

2

，-

3

2

)
或A(-

3

2

，

3

2

)、B(-

3

2

，-

3

2

)
則：|AB|=

3

（6分）
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=-(

2

3k2+1

-1)2+4≤4．                 （12分）
當且僅當

2

3k2+1

-1=0，即k=±

3

3

時等號成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．（14分）