Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，為的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

【解析】

（1）連接、，由中位線的性質(zhì)得出，可得出平面，證明四邊形為平行四邊形，可得出，進(jìn)而得出平面，再利用面面平行的判定定理可證明出平面平面；

（2）連接、，設(shè)，利用相似三角形得出，由平面結(jié)合線面平行的性質(zhì)得出，再利用平行線分線段成比例定理可確定點(diǎn)的位置.

（1）如下圖所示，連接、，

因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，所以，

平面，平面，所以，平面，

又因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，

又，所以四邊形是平行四邊形，，

平面，平面，平面，

又因?yàn)?/span>平面，平面，，

所以平面平面；

（2）連接、，設(shè)，連接，

因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，

，所以.

在梯形中，，，

又，所以，所以，，

所以為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).