Question

5．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上函數(shù)，且對(duì)任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=2^x，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先判斷f（4-x）=f（x）．再設(shè)x＜2，則-x＞-2，4-x＞2，利用條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，f（4-x）=f（x）．
設(shè)x＜2，則-x＞-2，4-x＞2，
∵當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=2^x，
∴f（4-x）=2^4-x，
∴f（x）=2^4-x，（x＜2）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥2}\\{{2}^{4-x}，x＜2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)f（x）的解析式，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷f（4-x）=f（x）是關(guān)鍵．