Question

如圖，在直線y=0和y=a（a＞0）之間表示的是一條河流，河流的一側(cè)河岸（x軸）是一條公路，且公路隨時隨處都有公交車來往．家住A（0，a）的某學(xué)生在位于公路上B（d，0）（d＞0）處的學(xué)校就讀．每天早晨該學(xué)生都要從家出發(fā)，可以先乘船渡河到達公路上某一點，再乘公交車去學(xué)校，或者直接乘船渡河到達公路上B（d，0）處的學(xué)校．已知船速為υ₀（υ₀＞0），車速為2υ₀（水流速度忽略不計）．
（Ⅰ）若d=2a，求該學(xué)生早晨上學(xué)時，從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間；
（Ⅱ）若d=

a

2

，求該學(xué)生早晨上學(xué)時，從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間．

Answer 1

分析：（I）設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學(xué)校，所用的時間為t，則t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)，求導(dǎo)函數(shù)，從而確定極值點，由此可求得函數(shù)的最值，從而得結(jié)論；
（II）由（I）的討論可知，當(dāng)d=

a

2

時，t=f(x)為(0，

a

2

]上的減函數(shù)，所以當(dāng)x=

a

2

時，即該學(xué)生直接乘船渡河到達公路上學(xué)校，所用的時間最短，故可得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學(xué)校，所用的時間為t，則t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)．…（3分）
令f′(x)=0，得x=

3

3

a．…（5分）
且當(dāng)0≤x＜

3

3

a時，f′(x)＜0，…（6分）
當(dāng)

3

3

a＜x≤d時，f′(x)＞0，…（7分）
當(dāng)x=

3

3

a時，所用的時間最短，最短時間為：t=

a2+( 3 3 a)2

υ0

+

d- 3 3 a

2υ0

=(1+

3

2

)

a

υ0

．…（9分）
答：當(dāng)d=2a時，該學(xué)生從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間是(1+

3

2

)

a

υ0

．
（II）由（I）的討論可知，當(dāng)d=

a

2

時，t=f(x)為(0，

a

2

]上的減函數(shù)，所以當(dāng)x=

a

2

時，
即該學(xué)生直接乘船渡河到達公路上學(xué)校，所用的時間最短．…（12分）
最短的時間為t=

a2+( a 2 )2

υ0

=

5 a

2υ0

…（14分）
答：當(dāng)d=

a

2

時，該學(xué)生從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間是

5 a

2υ0

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是函數(shù)模型的構(gòu)建．