Question

北京奧運(yùn)會紀(jì)念章特許專營店銷售紀(jì)念章，每枚進(jìn)價為5元，同時每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營管理費(fèi)2元，預(yù)計這種紀(jì)念章以每枚20元的價格銷售時，該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價格為x元（x∈N*）．
（Ⅰ）寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀(jì)念章的銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式（并寫出這個函數(shù)的定義域）；
（Ⅱ）當(dāng)每枚紀(jì)念章的銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內(nèi)利潤y（元）最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，是一個分段函數(shù)．
（Ⅱ）分別求出各段函數(shù)的最大值比較最大得到最大值．

解答：（Ⅰ）依題得y=

[2000+400(20-x)](x-7)    7＜x≤20 [2000-100(x-20)](x-7)     20＜x＜40

x∈N⁺
y=

400(25-x)(x-7)    7＜x≤20 x∈N+ 100(40-x)(x-7)     20＜x＜40 x∈N+

此函數(shù)的定義域為{x|7＜x＜40，x∈N^*}
（Ⅱ）y=

400[-(x-16)2+81] 7＜x≤20 x∈N+ 100[-(x- 47 2 )2+ 1089 4 ] 20＜x＜40 x∈N+

，
當(dāng)7＜x≤20，則當(dāng)x=16時，y_max=32400（元）；
當(dāng)20＜x＜40，因為x∈N^*，所以當(dāng)x=23或24時，y_max=27200（元）；
綜合上可得當(dāng)x=16時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元．

點評：考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的能力．