Question

已知定義在R上的函數f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在（0，1）上是減函數；
（3）若方程f（x）=m在（-1，1）上有解，求m的取值范圍？

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用奇偶性的定義，注意定義域是否關于原點對稱，即可判斷；
（2）運用單調性的定義，注意作差、變形、定符號和下結論幾個步驟；
（3）根據偶函數，只要考慮x∈[0，1）時，函數f（x）單調遞減，求出范圍即可得到．

解答： （1）解：因為f（x）定義域為R，
且f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f(x)，
所以函數f（x）為偶函數；
（2）證明：設0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=

2m

4m+1

-

2n

4n+1

=

(2n-2m)(2m+n-1)

(4m+1)(4n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，則2ⁿ-2^m＞0，2^m+n＞1
則f（m）＞f（n），
所以f（x）在（0，1）上是減函數；
（3）解：m=

2x

4x+1

，當x∈[0，1）時，函數f（x）單調遞減，
f(x)∈(

2

5

，

1

2

]，
又因為f（x）是偶函數，
所以當x∈（-1，1）時，f(x)∈(

2

5

，

1

2

]，
所以當m∈(

2

5

，

1

2

]時，方程在（-1，1）上有解．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用定義，考查奇偶性和單調性的運用，屬于中檔題．